ما هي التبولوجيا..؟؟؟
التبولوجيا من المواضيع الرياضيه البحته التي تتعامل مع المجموعات التي تتصف بصفات معينه ولهذا الموضوع اهميه خاصه رياضيا , وقد اسهم في بناء وتنمية التفكير المنطقي السليم كما إن له صله ببعض الامور الهندسيه
والهندسه الاقليديه مثلا هي من الامور التي يتعرف عليها عدد كبير من الطلاب في مراحل تعليمهم المبكره وتمتاز هذه الهندسه بما يسمى الخواص الهندسيه للاشكال وبالحركه المتماسكه المستعمله لاثبات تطابق الاشكال الهندسيه والسؤال الذي ينشأ الان هو هل هناك انواع اخرى من الحركات الممكنه غير تلك الحركه المتماسكه؟
سنحاول في هذا المقال تقديم عرض مبسط للتبولوجيا الذي يمتاز بانواع اخرى من الحركه المرنه وبشكل بسيط نستطيع القول إن التبولوجيا تتعامل مع الهندسه المطاطيه المرنه وسنقدم مقارنه بسيطه بين الخواص الهندسيه والخواص التبولوجيه
*الخصائص الهندسيه
تعلم إن هندسة اقليدس تعتني بدراسة الاشكال في المستوى او الفضاء مع اهتمام خاص بالخواص الهندسيه لكن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيف نكم على خاصة ما بانها هندسيه؟؟
لو اخذنا مثلث قائم الزاويه مرسوم بقلم لونه اسود ما فانه يمكننا التحدث عن التالي
1- طول اكبر اضلاعه 5 سم.
2- إن المثلث اضلاعه سوداء
3- قياس احد الزوايا 90 درجه
4- المثلث مرسوم في وسط الصفحه مثلا
5- الزاويه التي قياسها 90 درجه تقع اعلى من غيرها في هذه الصفحه
فما هي الخصائص الهندسيه من بين ماذكر؟؟
إن الاجابه على هذا التساؤل تعتمد على مفهوم الاشكال المتطابقه حيث نذكر إن أي شكلين يعتبران متطابقان اذا وفقط اذا وضعا على بعض وكانا منطبقان تمام الانطباق والخواص الهندسيه لشكل ما يحوز عليها كل شكل مطابق له وعليه فان جميع الاشكال المتطابقه بالنسبه للهندسي متماثله((تمثل نفس الشيء)) وعند دراسته لاي شكل فان اهتماماته تتركزعلى إن إن جميع الخواص متتطابقه لذلك الشكل.
وفي ضوء ذلك يمكن ملاحظة إن الخواص 1 , 3 هندسيه لان هذه الخواص محققه في أي مثلث مطابق للمثلث السابق
بينما الخواص, 2 , 4 , 5 ليست هندسيه لانه يوجد امكانيه في إن لاتكون هذه الخواص محققه في أي مثلث مطابق للمثلث المعطى
ماهو التبولوجي
قد يبدو غريبا إن نصف علم التبولوجي وذلك باستمرار بدلا من كلمة هندسه وكلمة تبولوجيه بدلا من كلمة هندسيه ويعود السبب في ذلك إلى إن هذه الماده نصف الهندسه والتبولوجيا والفرق الوحيد بينهما مختفي في عبارة "يمكن وضعه على" والذي سبق تعريفه في التطابق فدعنا. نختبر هذه العباره بشكل ادق كيف نضع شكلا؟ وكيف نحركه؟وماهو مسموح لنا بعمله في هذه الحركه؟ فالحركات المسموح بها في الهندسه هي من نوع الحركات المتماسكه(الانسحاب,التدوير,الانعكاس)
والتي تحافظ على البعد ثابت بين أي نقطتين في الشكل (أي تحويلات هندسيه متساوية القياس كما تعلمنا في دراستنا السابقه) وعليه فالخصائص الهندسيه هي التي تبقى ثابته تحت تاثير الحركه المتماسكه.
اما في التبولوجي فالحركات المسموح بها هي من نوع "الحركات المرنة" فاذا تخيلنا إن لدينا اشكالا مصنوعه من المطاط فعند تحريك الشكل فاننا نستطيع تشويه الشكل عن طريق المط او اللي كما نشاء كما انه من الممكن قطع هذا الشكل المطاطي وربطه على هيئة عقده شريطة خياطته ثانيه كما كان سابقا وهذا يعني إن النقاط القريبه من بعضها قبل قطع الشكل تبقى قريبه من بعض بعد وصل الشكل ومهما يكن الامر فاننا يجب إن نبقى حريصين على إن هذه النقط المتمايزه في الشكل تبقى متمايزه فلا نستطيع بالقوه جعل نقطتين مختلفتين نقطه واحده ونقول
"إن شكلين متكافئين تبولوجيا اذا وفقط اذا انطبقا على بعض بحركه مرنه"
فالخصائص التبولوجيه للشكل هي جميع الخصائص التي ترتبط بالاشكال المتكافئه أي إن جميع الاشكال المتكافئه تبولوجيا متشابهه(تمثل نفس الشيء)
وعند دراسة شكل ما فان الاهتمام يكون منصبا على الخصائص المشتركه لجميع الاشكال الكتافئه تبولوجيا لشكل ما وعليه فان الخصائص التبولوجيه لشكل ما ثابته تحت تاثير الحركات المرنه وبالطبع فان علم التبولوجي هو دراسة الخواص التبولوجيه للاشكال.
وبالتاكيد فان اية خاصيه تبولوجيه لشكل ما هي خاصه هندسيه له ولكن كثيرا من الخصائص الهندسيه لاتمثل خصائص تبولوجيه
فالخصائص التبولوجيه لشكل ما يمكن إن تكون غالبية الخصائص الهندسيه للشكل وقد يظهر للوهله الاولى عدم وجود أي خاصيه تبولوجيه وهذا غير صحيح
فعلى سبيل المثال في الشكل 1 (انظر الشكل بالاسفل) دائره تقسم المستوى لثلاث مجموعات مجموعة النقط داخل الدائره وخارجها وعليها وتعتبر هذه الخاصيه للدائره تبولوجيه فاذا تصورنا هذه الدائره والنقطتين س , ص مرسومتين على صفيحه مطاطيه وعرضنا الدائره إلى تشويه بالشكل عن طريق حركه مرنه فان
النتيجه هي المنحنى م والنقطتان س , ص كما في الشكل فالنقطتان س , ص لاتزالان داخل الشكل وخارجه وعليه فان الخاصيه س واقعه داخل المنحنى م تعتبر خاصيه تبولوجيه للمنحنى الاصلي اما الخاصيه س اقرب إلى المنحنى م فهي ليست تبولوجيه فبالامكان المط لجعل ص اقرب إلى المنحنى لذلك هذه ليست خاصيه تبولوجيه وكمثال اخر فالشكل 2 يعبر عن دائره وعقده وهما شكلان متكافئان تبولوجيا عن طريق خاصة القطع وليس السحب وهي من الحركات المرنه المسموح بها فبقطع الدائره ومطها وربطها نحصل على العقده
*الخصائص التبولوجيه للاشكال
أ-الخصائص التبولوجيه
كما يعلم الجميع صيغة اويلر الهندسيه لاي مجسم بسيط وهي تعطي العلاقه بين عدد رؤوس وحواف ووجوه المجسم وثابت ومجال صحة هذه الصيغه يتعدى مجسمات الهندسه الاوليه بوجوهها المسطح وحوافها المستقيمه وينطبق الحال كذلك على أي مجسم بسيط ذي وجوه وحواف منحنيه او متقوسه كما ينطبق على أي جزء من سطح كره تحده اقواس زد على ذلك باننا إن تخيلنا سطح مجسم من مطاط تثب صحة صيغة اويلر اذا تغير الشكل نتيجة مط مثلا
وسبب ذلك " إن الصيغه تهتم بالحواف والرؤوس والوجوه وليس بالاطوال او المساحات او أي مفهوم من مفاهيم الهندسه الاوليه
ويجب التذكير هنا إن الهندسه الاوليه تتعامل مع المقادير الطول والزاويه والمساحه وهي التي لا تتغير بالحركه المتماسكه بينما تتعامل الهندسه الاسقاطيه بمفاهيم (نقطه, خط, سقوط , نسب تقاطعيه) والتي لاتتغير بالتحويلات الاسقاطيه
وما التحركات اولاسقاط إلى حالتين مما يسمى بالتحويلات التبولوجيه فالتحول التبولوجي للشكل الهندسي
فالتحول التبولوجي من الشكل أ إلى الشكل أ# يعطي بالمقابله ب إلى ب# بين النقاط ب من أ والنقاط ب# من أ# والتي لها لها الخاصتان التاليتان:
1- المقابله وحيده ومعكوسه أي كل نقطه من شكل أ يقابلها نقطه وحيده من أ# وبالعكس.
2- المقابله متصله في الاتجاهين وهذا يعني اننا اذا اعتبرنا النقطتين مثل ب , جـ من أ وحركنا ب لتصبح المسافه قريبه بينها وبين جـ أي تقترب للصفر فان المسافه بين ب# و جـ# من أ# تقترب من الصفر ايضا وبالعكس
إن ثبات اية خاصيه لشكل هندسي أ عندما يتحول إلى شكل اخر بواسطة تحويل تبولوجي تدعى خاصيه تبولوجيه للشكل الهندسي أ والتبولوجيا هي فرع من الهندسه الذي يعني فقط بالخصائص التبولوجيه للاشكال
لنتصور احد الخطاطين قد قام بنسخ شكلا ما باليد وبحرية تصرف وكان مدركا لعمله لكنه لم يكن خبيراً فيه ورسم المستقيمات منحنيا وغير الزوايا والمساحات فضاعت الخصائص المتريه والاسقاطيه للشكل فانه رغم ذلك كله يبقى الشكل
محتفظا بخصائصه التبولوجيه.
منقوول للفائدة
سبحان الله و بحمده
التبولوجيا من المواضيع الرياضيه البحته التي تتعامل مع المجموعات التي تتصف بصفات معينه ولهذا الموضوع اهميه خاصه رياضيا , وقد اسهم في بناء وتنمية التفكير المنطقي السليم كما إن له صله ببعض الامور الهندسيه
والهندسه الاقليديه مثلا هي من الامور التي يتعرف عليها عدد كبير من الطلاب في مراحل تعليمهم المبكره وتمتاز هذه الهندسه بما يسمى الخواص الهندسيه للاشكال وبالحركه المتماسكه المستعمله لاثبات تطابق الاشكال الهندسيه والسؤال الذي ينشأ الان هو هل هناك انواع اخرى من الحركات الممكنه غير تلك الحركه المتماسكه؟
سنحاول في هذا المقال تقديم عرض مبسط للتبولوجيا الذي يمتاز بانواع اخرى من الحركه المرنه وبشكل بسيط نستطيع القول إن التبولوجيا تتعامل مع الهندسه المطاطيه المرنه وسنقدم مقارنه بسيطه بين الخواص الهندسيه والخواص التبولوجيه
*الخصائص الهندسيه
تعلم إن هندسة اقليدس تعتني بدراسة الاشكال في المستوى او الفضاء مع اهتمام خاص بالخواص الهندسيه لكن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيف نكم على خاصة ما بانها هندسيه؟؟
لو اخذنا مثلث قائم الزاويه مرسوم بقلم لونه اسود ما فانه يمكننا التحدث عن التالي
1- طول اكبر اضلاعه 5 سم.
2- إن المثلث اضلاعه سوداء
3- قياس احد الزوايا 90 درجه
4- المثلث مرسوم في وسط الصفحه مثلا
5- الزاويه التي قياسها 90 درجه تقع اعلى من غيرها في هذه الصفحه
فما هي الخصائص الهندسيه من بين ماذكر؟؟
إن الاجابه على هذا التساؤل تعتمد على مفهوم الاشكال المتطابقه حيث نذكر إن أي شكلين يعتبران متطابقان اذا وفقط اذا وضعا على بعض وكانا منطبقان تمام الانطباق والخواص الهندسيه لشكل ما يحوز عليها كل شكل مطابق له وعليه فان جميع الاشكال المتطابقه بالنسبه للهندسي متماثله((تمثل نفس الشيء)) وعند دراسته لاي شكل فان اهتماماته تتركزعلى إن إن جميع الخواص متتطابقه لذلك الشكل.
وفي ضوء ذلك يمكن ملاحظة إن الخواص 1 , 3 هندسيه لان هذه الخواص محققه في أي مثلث مطابق للمثلث السابق
بينما الخواص, 2 , 4 , 5 ليست هندسيه لانه يوجد امكانيه في إن لاتكون هذه الخواص محققه في أي مثلث مطابق للمثلث المعطى
ماهو التبولوجي
قد يبدو غريبا إن نصف علم التبولوجي وذلك باستمرار بدلا من كلمة هندسه وكلمة تبولوجيه بدلا من كلمة هندسيه ويعود السبب في ذلك إلى إن هذه الماده نصف الهندسه والتبولوجيا والفرق الوحيد بينهما مختفي في عبارة "يمكن وضعه على" والذي سبق تعريفه في التطابق فدعنا. نختبر هذه العباره بشكل ادق كيف نضع شكلا؟ وكيف نحركه؟وماهو مسموح لنا بعمله في هذه الحركه؟ فالحركات المسموح بها في الهندسه هي من نوع الحركات المتماسكه(الانسحاب,التدوير,الانعكاس)
والتي تحافظ على البعد ثابت بين أي نقطتين في الشكل (أي تحويلات هندسيه متساوية القياس كما تعلمنا في دراستنا السابقه) وعليه فالخصائص الهندسيه هي التي تبقى ثابته تحت تاثير الحركه المتماسكه.
اما في التبولوجي فالحركات المسموح بها هي من نوع "الحركات المرنة" فاذا تخيلنا إن لدينا اشكالا مصنوعه من المطاط فعند تحريك الشكل فاننا نستطيع تشويه الشكل عن طريق المط او اللي كما نشاء كما انه من الممكن قطع هذا الشكل المطاطي وربطه على هيئة عقده شريطة خياطته ثانيه كما كان سابقا وهذا يعني إن النقاط القريبه من بعضها قبل قطع الشكل تبقى قريبه من بعض بعد وصل الشكل ومهما يكن الامر فاننا يجب إن نبقى حريصين على إن هذه النقط المتمايزه في الشكل تبقى متمايزه فلا نستطيع بالقوه جعل نقطتين مختلفتين نقطه واحده ونقول
"إن شكلين متكافئين تبولوجيا اذا وفقط اذا انطبقا على بعض بحركه مرنه"
فالخصائص التبولوجيه للشكل هي جميع الخصائص التي ترتبط بالاشكال المتكافئه أي إن جميع الاشكال المتكافئه تبولوجيا متشابهه(تمثل نفس الشيء)
وعند دراسة شكل ما فان الاهتمام يكون منصبا على الخصائص المشتركه لجميع الاشكال الكتافئه تبولوجيا لشكل ما وعليه فان الخصائص التبولوجيه لشكل ما ثابته تحت تاثير الحركات المرنه وبالطبع فان علم التبولوجي هو دراسة الخواص التبولوجيه للاشكال.
وبالتاكيد فان اية خاصيه تبولوجيه لشكل ما هي خاصه هندسيه له ولكن كثيرا من الخصائص الهندسيه لاتمثل خصائص تبولوجيه
فالخصائص التبولوجيه لشكل ما يمكن إن تكون غالبية الخصائص الهندسيه للشكل وقد يظهر للوهله الاولى عدم وجود أي خاصيه تبولوجيه وهذا غير صحيح
فعلى سبيل المثال في الشكل 1 (انظر الشكل بالاسفل) دائره تقسم المستوى لثلاث مجموعات مجموعة النقط داخل الدائره وخارجها وعليها وتعتبر هذه الخاصيه للدائره تبولوجيه فاذا تصورنا هذه الدائره والنقطتين س , ص مرسومتين على صفيحه مطاطيه وعرضنا الدائره إلى تشويه بالشكل عن طريق حركه مرنه فان
النتيجه هي المنحنى م والنقطتان س , ص كما في الشكل فالنقطتان س , ص لاتزالان داخل الشكل وخارجه وعليه فان الخاصيه س واقعه داخل المنحنى م تعتبر خاصيه تبولوجيه للمنحنى الاصلي اما الخاصيه س اقرب إلى المنحنى م فهي ليست تبولوجيه فبالامكان المط لجعل ص اقرب إلى المنحنى لذلك هذه ليست خاصيه تبولوجيه وكمثال اخر فالشكل 2 يعبر عن دائره وعقده وهما شكلان متكافئان تبولوجيا عن طريق خاصة القطع وليس السحب وهي من الحركات المرنه المسموح بها فبقطع الدائره ومطها وربطها نحصل على العقده
*الخصائص التبولوجيه للاشكال
أ-الخصائص التبولوجيه
كما يعلم الجميع صيغة اويلر الهندسيه لاي مجسم بسيط وهي تعطي العلاقه بين عدد رؤوس وحواف ووجوه المجسم وثابت ومجال صحة هذه الصيغه يتعدى مجسمات الهندسه الاوليه بوجوهها المسطح وحوافها المستقيمه وينطبق الحال كذلك على أي مجسم بسيط ذي وجوه وحواف منحنيه او متقوسه كما ينطبق على أي جزء من سطح كره تحده اقواس زد على ذلك باننا إن تخيلنا سطح مجسم من مطاط تثب صحة صيغة اويلر اذا تغير الشكل نتيجة مط مثلا
وسبب ذلك " إن الصيغه تهتم بالحواف والرؤوس والوجوه وليس بالاطوال او المساحات او أي مفهوم من مفاهيم الهندسه الاوليه
ويجب التذكير هنا إن الهندسه الاوليه تتعامل مع المقادير الطول والزاويه والمساحه وهي التي لا تتغير بالحركه المتماسكه بينما تتعامل الهندسه الاسقاطيه بمفاهيم (نقطه, خط, سقوط , نسب تقاطعيه) والتي لاتتغير بالتحويلات الاسقاطيه
وما التحركات اولاسقاط إلى حالتين مما يسمى بالتحويلات التبولوجيه فالتحول التبولوجي للشكل الهندسي
فالتحول التبولوجي من الشكل أ إلى الشكل أ# يعطي بالمقابله ب إلى ب# بين النقاط ب من أ والنقاط ب# من أ# والتي لها لها الخاصتان التاليتان:
1- المقابله وحيده ومعكوسه أي كل نقطه من شكل أ يقابلها نقطه وحيده من أ# وبالعكس.
2- المقابله متصله في الاتجاهين وهذا يعني اننا اذا اعتبرنا النقطتين مثل ب , جـ من أ وحركنا ب لتصبح المسافه قريبه بينها وبين جـ أي تقترب للصفر فان المسافه بين ب# و جـ# من أ# تقترب من الصفر ايضا وبالعكس
إن ثبات اية خاصيه لشكل هندسي أ عندما يتحول إلى شكل اخر بواسطة تحويل تبولوجي تدعى خاصيه تبولوجيه للشكل الهندسي أ والتبولوجيا هي فرع من الهندسه الذي يعني فقط بالخصائص التبولوجيه للاشكال
لنتصور احد الخطاطين قد قام بنسخ شكلا ما باليد وبحرية تصرف وكان مدركا لعمله لكنه لم يكن خبيراً فيه ورسم المستقيمات منحنيا وغير الزوايا والمساحات فضاعت الخصائص المتريه والاسقاطيه للشكل فانه رغم ذلك كله يبقى الشكل
محتفظا بخصائصه التبولوجيه.